Logique & mathématiques · notions : la raison, la vérité, la démonstration
Maths & logique
On croit que la logique et les mathématiques sont l'affaire des « scientifiques », loin de la philosophie. C'est l'inverse : elles en sont l'atelier. Remplir une table de vérité, chercher un contre-exemple, distinguer une preuve d'une simple conviction — ce sont exactement les gestes que réclame la dissertation. Cette passerelle relie le geste formel au geste philosophique.
Le pont : réfuter, c'est chercher le contre-exemple
L'élève qui remplit une table de vérité ne voit pas spontanément qu'il apprend à réfuter. Pourtant c'est le même geste. Une implication « si P alors Q » n'est fausse que dans un seul cas : P vrai et Q faux. Réfuter une thèse en dissertation, c'est exactement chercher ce cas — le contre-exemple qui fait tomber la règle. La logique donne le squelette de ce qu'on fait, en prose, dans une copie.
Atelier interactif — l'implication et son unique faille
Cliquez pour changer la valeur de P et de Q. Observez quand « P → Q » devient fausse.
« Tous les cygnes sont blancs » (P : c'est un cygne → Q : il est blanc). Un seul cygne noir — P vrai, Q faux — et la thèse tombe. Chercher le cygne noir : voilà la réfutation.
Quatre chantiers philosophiques ouverts par les maths
Qu'est-ce qu'un nombre ?
Un nombre existe-t-il comme une chose, ou n'est-il qu'un signe ? De Peano à Frege, définir « 2 » engage toute une métaphysique. Notion : la vérité, repère abstrait / concret.
Peut-on tout calculer ?
La machine de Turing donne une définition précise de « calculable » — et prouve qu'il existe des problèmes qu'aucune machine ne résoudra jamais. La raison a des limites démontrables.
Prouver, est-ce ne pas pouvoir réfuter ?
Les tableaux de Beth prouvent une formule en montrant que sa négation est impossible. Prouver, c'est fermer toutes les échappatoires — le contraire de « avoir un avis ».
L'infini est-il pensable ?
Il y a « plus » de nombres réels que d'entiers, bien que les deux soient infinis (Cantor). Le vertige de l'infini est un problème logique autant que métaphysique.
Du concret au concept
Une question de joueur — comment partager la mise d'une partie interrompue ? — posée en 1654 à deux mathématiciens. De cet échange sont sortis le calcul des probabilités, donc les assurances, la démographie, l'épidémiologie et la météorologie. La philosophie n'est pas ajoutée après coup : la question de départ est celle de savoir ce qui autorise à raisonner sur ce qui n'a pas eu lieu.
Les notions du programme, telles que ce cas les pose
La raison
Ici la raison n'est pas une faculté qu'on possède plus ou moins : c'est une procédure qui s'écrit et se contrôle ligne à ligne. Ce qui distingue une démonstration d'une conviction, c'est qu'on peut la vérifier sans faire confiance à celui qui l'a écrite.
La vérité
Une vérité mathématique n'est vraie de rien qui existe : elle est vraie sous condition. Le calcul des partis n'établit pas ce qui serait arrivé, il établit ce qui devrait être partagé si l'on jouait — et cela suffit à trancher.
Les repères, définis en situation
Un repère ne s'apprend pas : il se manie. Chacun est donné ici avec sa définition, puis avec le travail précis qu'il fait dans ce dossier — c'est le second point qui compte en copie.
Intuitif / discursif
Intuitif : saisi d'un seul coup, sans étape intermédiaire. Discursif : obtenu par une suite d'étapes qu'on peut exhiber.
Ce que ce cas en fait. Le partage intuitif — celui qui menait a plus gagné — paraît évident, et il est faux. La solution de Pascal est longue, laborieuse, et elle est juste. Ici l'intuition n'abrège pas la démonstration : elle s'y oppose. C'est le meilleur contre-exemple possible à l'idée que ce qui est évident est vrai.
Exemple / preuve
Un exemple établit qu'une chose est possible ; une preuve établit qu'elle est nécessaire.
Ce que ce cas en fait. On pourrait rejouer mille fois la partie interrompue : on obtiendrait une fréquence, jamais un droit. Le calcul, lui, tranche sans jouer une seule fois. La différence entre les deux démarches est exactement celle du repère.
Contingent / nécessaire
Contingent : ce qui peut être ou ne pas être. Nécessaire : ce qui ne peut pas ne pas être.
Ce que ce cas en fait. L'objet du calcul est parfaitement contingent — des coups qui n'ont pas été joués. Son résultat, lui, est nécessaire. Le calcul des probabilités est précisément l'opération qui rend nécessaire un raisonnement portant sur du contingent : c'est ce qui en fait un objet philosophique et non une recette.
Les sujets que cette passerelle arme
Pour chaque sujet : l'exemple précis et daté que vous tirez d'ici, et l'endroit de la copie où il rend le plus.
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Une démonstration suffit-elle à convaincre ?
exemple central
Pascal et Fermat, été 1654 : deux hommes qui ne se sont jamais rencontrés obtiennent le même partage par deux chemins étrangers l'un à l'autre — Fermat par dénombrement des cas, Pascal par récurrence. C'est le fait qui sépare convaincre de persuader : la preuve ne dépend ni de la voix ni de l'autorité de celui qui la porte.
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La raison peut-elle rendre compte du hasard ?
accroche
Ouvrir sur la question du chevalier de Méré, qui est une question de joueur et non de savant. Ce qui n'avait pas de réponse en 1653 en a une en 1654 : le hasard n'a pas changé, c'est l'outil qui est apparu. Une accroche qui pose d'emblée que la raison ne découvre pas seulement, elle construit ses objets.
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Les mathématiques nous apprennent-elles quelque chose sur le monde ?
objection
À opposer à toute thèse purement formaliste : le calcul de 1654 n'a rien découvert dans le monde, et il a pourtant permis, en un siècle, de calculer des rentes viagères et des primes d'assurance sur des vies réelles. Un formalisme qui mord sur le réel est une objection sérieuse à l'idée que les mathématiques ne parlent que d'elles-mêmes.
Un exemple daté vaut mieux que trois références vagues : c'est ce qui distingue une copie qui sait d'une copie qui récite. Reprenez les dates, elles comptent autant que les noms.
Corpus & documents
Trois grands textes libres de droit sur la puissance — et les limites — du calcul.
Descartes, Discours de la méthode, 1637, 2ᵉ partie (domaine public)
« Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donné occasion de m'imaginer que toutes les choses […] s'entre-suivent en même façon. »
Descartes rêve d'étendre l'ordre géométrique à toute la connaissance. Est-ce un idéal ou une illusion ? Que perdrait-on à ne raisonner que « more geometrico » ?
Leibniz, à propos de la characteristica universalis (domaine public)
« Quand surgira une controverse, il n'y aura pas plus besoin de discuter entre deux philosophes qu'entre deux comptables. Il suffira de prendre la plume, de s'asseoir, et de se dire : Calculons ! »
Leibniz rêve de trancher tout désaccord par le calcul. Qu'est-ce qui, dans une dissertation de philosophie, résiste à ce rêve ? Toute question a-t-elle une réponse calculable ?
Extraits dans le domaine public. Commentaires et questions originaux.
S'entraîner — les ateliers de logique & de maths
Cette passerelle donne le sens ; le moteur d'exercices donne l'entraînement. Les activités ci-dessous existent déjà dans le module Exercices — le coach les prescrit, le journal suit vos progrès.
Galerie — images du domaine public
Images libres de droit en rapport avec ce dossier.
Écouter
Fiches et carnet dans la phonothèque.
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Atelier d'écriture — un retour immédiat
Sujet : « Les vérités mathématiques sont-elles découvertes ou inventées ? »
Un triangle a-t-il ses propriétés avant qu'on les démontre (on les découvre), ou naissent-elles de nos définitions (on les invente) ? Thèse, objection, réponse.